לפעמים הדבר הכי קטן מצליח להדליק את הרשת כולה. לא פוליטיקה, לא רכילות, לא שערורייה הוליוודית – אלא תרגיל מתמטי קצר שנראה כאילו נלקח משיעורי בית של בית ספר יסודי. כמה מספרים, זוג סוגריים אחד, סימן חילוק אחד, וזהו. ובכל זאת, התרגיל הזה הצליח לגרום לאנשים להתווכח, להתעצבן, להגן על התשובה שלהם כאילו מדובר בשאלה קיומית, ולגלות שוב שמתמטיקה יכולה להיות הרבה פחות פשוטה ממה שנדמה לנו.
התרגיל שגרם לכל הבלגן הוא:
8 ÷ 2(2 + 2)
במבט ראשון, זה נראה קל. פותרים את הסוגריים, ממשיכים לפי סדר פעולות חשבון, ומגיעים לתשובה. אבל כאן בדיוק מתחילה הבעיה. חלק מהאנשים מקבלים 16. אחרים בטוחים לחלוטין שהתשובה היא 1. וכל צד משוכנע שהצד השני פשוט שכח את מה שלמד בכיתה ד׳.
אז מי צודק?
התשובה הקצרה היא: תלוי איך מפרשים את הכתיבה. התשובה הארוכה היא בדיוק הסיבה שהתרגיל הזה הפך לאחד הוויכוחים המתמטיים הכי ויראליים של השנים האחרונות.
איך תרגיל כזה בכלל הפך לוויראלי?
בשנת 2019, התרגיל הקטן הזה התחיל להסתובב ברשתות החברתיות. אנשים שיתפו אותו עם חברים, כתבו את התשובה שלהם בתגובות, צחקו על מי שענה אחרת, ואז גילו מהר מאוד שהם לא לבד. לא רק תלמידים התווכחו עליו. גם מבוגרים, מורים, חובבי מתמטיקה ואנשים שבטוחים שהם “טובים במספרים” מצאו את עצמם מתעכבים עליו יותר ממה שתכננו.
הסיבה שהוא תפס כל כך חזק היא שהוא נראה פשוט מדי בשביל להיות מבלבל. אם מישהו מציג לנו בעיה מתמטית מסובכת, אנחנו מוכנים מראש לכך שיהיה קשה. אבל כאשר התרגיל נראה בסיסי, כל תשובה שונה מרגישה כמעט מעליבה. “איך יכול להיות שאתה לא רואה שזה 16?” שואל צד אחד. “איך יכול להיות שאתה לא מבין שזה 1?” עונה הצד השני.
וכך, במקום תרגיל קצר, נולד ויכוח אינטרנטי שלם.
קודם כול: פותרים את הסוגריים
בשלב הראשון אין כמעט מחלוקת. בתוך הסוגריים מופיע הביטוי:
2 + 2
התוצאה היא 4.
לכן אחרי פתיחת הסוגריים מקבלים:
8 ÷ 2(4)
או בצורה אחרת:
8 ÷ 2 × 4
ומכאן מתחיל הפיצול הגדול. האם צריך לפתור משמאל לימין, כלומר קודם 8 חלקי 2 ואז כפול 4? או שצריך להתייחס ל-2(4) כאילו הוא יחידה אחת, כלומר 2 כפול 4, ורק אז לחלק את 8 בתוצאה?
שתי הדרכים נשמעות הגיוניות לאנשים שונים, ולכן הוויכוח לא נגמר כל כך מהר.
המחנה שאומר שהתשובה היא 16
לפי כללי סדר פעולות חשבון כפי שנלמדים בדרך כלל, מתחילים בסוגריים, אחר כך חזקות, ואז כפל וחילוק באותה רמת עדיפות, משמאל לימין. לאחר מכן מגיעים לחיבור וחיסור, גם הם משמאל לימין.
כלומר, אחרי שפתרנו את הסוגריים וקיבלנו 4, הביטוי הוא:
8 ÷ 2 × 4
כאן כפל וחילוק נמצאים באותה רמת חשיבות. אין כלל שאומר שכפל תמיד קודם לחילוק. כאשר הם מופיעים יחד, פותרים לפי הסדר שבו הם מופיעים משמאל לימין.
לכן עושים קודם:
8 ÷ 2 = 4
ואז:
4 × 4 = 16
לפי הגישה הזו, התשובה היא 16.
עבור אנשים רבים זו התשובה הברורה, החד־משמעית והנכונה. מבחינתם אין בכלל שאלה. הסוגריים נפתרו, נשארו חילוק וכפל, ולכן הולכים משמאל לימין. פשוט מאוד.
המחנה שאומר שהתשובה היא 1
אבל לא כולם מסכימים. המחנה השני טוען שהביטוי 2(4) אינו צריך להיקרא כמו כפל רגיל נפרד, אלא כמו קבוצה צמודה. כלומר, כאשר המספר 2 צמוד לסוגריים, הם מפרשים את זה כאילו מדובר ביחידה אחת:
2(4) = 8
ואז הביטוי כולו הופך להיות:
8 ÷ 8 = 1
לפי הגישה הזו, התשובה היא 1.
אנשים שמגיעים לתוצאה הזו לא בהכרח “לא יודעים חשבון”. הם פשוט נותנים עדיפות גבוהה יותר לכפל שמשתמע מהצמדה לסוגריים. מבחינתם, הביטוי 2(2+2) נראה כמו גורם אחד, ולכן יש לפתור אותו יחד לפני שמחלקים את 8.
וזה בדיוק המקום שבו המתמטיקה הופכת פחות לחשבון ויותר לשאלה של מוסכמה וכתיבה.
אז מי צודק באמת?
אם משתמשים בכללי סדר פעולות רגילים כפי שנלמדים ברוב בתי הספר, ובהנחה שהביטוי נכתב כשרשרת פעולות רגילה, התשובה היא 16. אחרי הסוגריים, כפל וחילוק נפתרים משמאל לימין.
אבל יש כאן מלכודת חשובה: התרגיל כתוב בצורה לא מספיק ברורה. הביטוי 8 ÷ 2(2+2) משאיר מקום לפרשנות, במיוחד בגלל ההצמדה של 2 לסוגריים. מתמטיקאים ואנשי מדע רבים ציינו לאורך השנים שבכתיבה מקצועית היו נמנעים מניסוח כזה בדיוק משום שהוא עמום.
במילים אחרות, אם רוצים שהתשובה תהיה 16, עדיף לכתוב:
(8 ÷ 2) × (2 + 2)
ואם רוצים שהתשובה תהיה 1, עדיף לכתוב:
8 ÷ [2(2 + 2)]
כך אף אחד לא מתבלבל.
הבעיה אינה המספרים – אלא הדרך שבה כתבו אותם
וזו אולי הנקודה הכי מעניינת בסיפור. הוויכוח לא באמת נוצר מפני שהתרגיל קשה. הוא נוצר מפני שהוא מנוסח בצורה שמאפשרת לשני אנשים לקרוא אותו אחרת. כאשר כתיבה מתמטית אינה מדויקת מספיק, גם אנשים שמבינים את הכללים יכולים להגיע לתוצאות שונות.
במתמטיקה, כמו בשפה, ניסוח חשוב מאוד. משפט אחד עם פסיק במקום הלא נכון יכול לשנות משמעות. אותו דבר קורה גם במספרים. סוגריים, קווים, שברים, סימני כפל וחילוק – כל אלה נועדו למנוע אי־בהירות. כאשר משתמשים בסימן חילוק אופקי או בכתיבה צמודה לסוגריים בלי להבהיר את המבנה, נוצרת בעיה.
התרגיל הזה הוא פחות מבחן על כפל וחילוק ויותר שיעור על חשיבות של כתיבה ברורה.
למה כל כך הרבה אנשים כועסים על התשובה השנייה?
חלק מהקסם של תרגילים ויראליים כאלה הוא שהם נוגעים לנו באגו. אף אחד לא אוהב להרגיש שהוא טועה בתרגיל פשוט. כאשר אדם רואה תשובה אחרת משלו, הוא לא תמיד חושב “מעניין, אולי יש כאן פרשנות אחרת”. לעיתים הוא מיד חושב: “איך אנשים לא יודעים מתמטיקה?”
זה קורה במיוחד כאשר מדובר בחומר שלכאורה למדנו בבית הספר. כולנו זוכרים את סדר פעולות החשבון, או לפחות חושבים שאנחנו זוכרים. לכן כאשר מישהו פותר אחרת, זה מרגיש כאילו הוא מפר כלל בסיסי.
אבל במקרה הזה, חלק גדול מהוויכוח נובע מהעובדה שהתרגיל לא נכתב בצורה אידיאלית. לכן שני הצדדים יכולים להישמע משכנעים, במיוחד אם הם מסבירים את דרך החשיבה שלהם.
זה קצת כמו השמלה הכחולה-שחורה או לבנה-זהובה
זוכרים את תמונת השמלה שחילקה את האינטרנט? חלק מהאנשים ראו אותה כחולה ושחורה. אחרים ראו אותה לבנה וזהובה. כולם הסתכלו על אותה תמונה בדיוק, אבל המוח פירש אותה בצורה שונה.
התרגיל הזה עובד באופן דומה. כולם רואים את אותו הביטוי, אבל לא כולם קוראים אותו באותה דרך. חלק רואים בו שרשרת פעולות רגילה: 8 חלקי 2 כפול 4. אחרים רואים בו 8 חלקי יחידה אחת: 2 כפול 4.
וזה מה שהופך את הוויכוח לכל כך ממכר. לא מדובר רק בשאלה “מה התשובה?”, אלא בשאלה “איך המוח שלך קורא את מה שמולך?”
oomfies solve this pic.twitter.com/0RO5zTJjKk
— ❦ (@pjmdolI) July 28, 2019
סדר פעולות חשבון – התזכורת הקצרה
כדי לעשות סדר, הנה העיקרון הבסיסי של סדר פעולות חשבון. קודם פותרים סוגריים. אחר כך חזקות. לאחר מכן כפל וחילוק, משמאל לימין. ולבסוף חיבור וחיסור, משמאל לימין.
הטעות הנפוצה היא לחשוב שכפל תמיד קודם לחילוק. זה לא מדויק. כפל וחילוק נמצאים באותה דרגת עדיפות. לכן כאשר הם מופיעים יחד, פותרים לפי הסדר משמאל לימין.
אותו דבר לגבי חיבור וחיסור. חיבור לא “קודם” לחיסור. שניהם באותה רמה, ולכן פותרים לפי הסדר שבו הם מופיעים.
אם ניישם את זה על התרגיל, אחרי הסוגריים נקבל 8 ÷ 2 × 4, ואז התוצאה לפי סדר פעולות רגיל היא 16.
אז למה אנשים עדיין מתעקשים על 1?
כי בכתיבה מתמטית יש מקומות שבהם הצמדה יכולה להרגיש חזקה יותר מכפל רגיל. לדוגמה, אם אנחנו רואים ביטוי כמו 2x, הרבה אנשים מתייחסים אליו כיחידה אחת. אם מישהו יכתוב 8 ÷ 2x, לא תמיד ברור אם הכוונה היא:
(8 ÷ 2) × x
או:
8 ÷ (2x)
לכן במתמטיקה מתקדמת יותר, או בכתיבה מדעית, משתדלים להימנע מביטויים שעלולים להתפרש בשתי דרכים. משתמשים בקו שבר, בסוגריים נוספים או בכתיבה מפורשת. לא מפני שאנשים אינם יודעים לחשב, אלא מפני שמטרת הכתיבה היא להסיר ספק.
במקרה שלנו, מי שעונה 1 בעצם קורא את הביטוי כאילו הסוגריים החיצוניים עדיין עוטפים את 2 ואת התוצאה 4 יחד. זו אינה הדרך המקובלת ביותר לפי סדר פעולות רגיל, אבל אפשר להבין למה העין שלהם נמשכת לקריאה הזו.
מתמטיקה אוהבת דיוק – האינטרנט אוהב בלגן
באקדמיה או בכיתה, מורה טוב היה כנראה כותב את התרגיל בצורה ברורה יותר. באינטרנט, לעומת זאת, דווקא הניסוח הלא ברור הוא מה שהופך את התרגיל למושלם להפצה. אם לכולם הייתה אותה תשובה תוך שנייה, אף אחד לא היה משתף אותו. הוויראליות נולדת מהבלבול.
אנשים אוהבים חידות שגורמות להם להרגיש חכמים. הם אוהבים לבדוק חברים, בני משפחה וקבוצות וואטסאפ. הם אוהבים לכתוב “רק גאונים יצליחו” או “90% טועים בזה”, גם אם בפועל מדובר יותר בניסוח מבלבל מאשר בגאונות.
וכך תרגיל קצר הופך לאירוע חברתי. פתאום כולם חוזרים לשיעורי מתמטיקה, מתווכחים על כללי PEMDAS או BODMAS, ומנסים להוכיח שהם זוכרים טוב יותר מאחרים.
למה מחשבונים לפעמים נותנים תשובות שונות?
חלק מהאנשים ניסו לפתור את התרגיל במחשבונים שונים וגילו שגם שם לפעמים מתקבלות תשובות שונות. זה רק הוסיף לבלבול. אבל הסיבה אינה שהמתמטיקה עצמה השתנתה, אלא שמחשבונים ותוכנות שונות מפרשים קלט בצורה שונה.
מחשבון אחד יכול לקרוא 2(4) ככפל רגיל אחרי החילוק, ואז לקבל 16. מחשבון אחר, בהתאם לאופן שבו הוא מתוכנת, עשוי להתייחס להצמדה לסוגריים בצורה אחרת או לדרוש סימן כפל מפורש.
לכן כאשר משתמשים במחשבון, חשוב לדעת לא רק מה מקלידים, אלא גם איך המחשבון מפרש את הכתיבה. אם רוצים למנוע בלבול, פשוט מוסיפים סוגריים:
(8 ÷ 2) × 4
או:
8 ÷ (2 × 4)
ברגע שעושים את זה, אין יותר ויכוח.
שיעור קטן בתקשורת, לא רק במתמטיקה
התרגיל הזה מלמד משהו שחורג הרבה מעבר לחשבון. הוא מזכיר לנו שאנשים יכולים להסתכל על אותו דבר בדיוק ולהבין אותו אחרת. זה נכון במספרים, וזה נכון גם בחיים.
לפעמים אנחנו בטוחים שהמסר שלנו ברור לגמרי, אבל הצד השני מבין אותו אחרת. אנחנו חושבים שכתבנו משהו פשוט, והוא נקרא בצורה אחרת. אנחנו מניחים שהכוונה מובנת מאליה, אבל היא לא. ואז מתחיל ויכוח, לא בגלל שמישהו טיפש, אלא בגלל שהמסר המקורי היה פתוח מדי לפרשנות.
במובן הזה, 8 ÷ 2(2+2) הוא לא רק תרגיל מתמטי. הוא תזכורת לכך שדיוק חשוב. אם רוצים שאנשים יבינו אותנו, צריך לפעמים להוסיף סוגריים – גם במתמטיקה וגם בחיים.
למה דווקא תרגילי בית ספר הופכים לוויראליים?
יש משהו מצחיק בכך שתרגיל שנראה כמו שאלה ממבחן של ילדים מצליח לגרום למבוגרים להתווכח כאילו מדובר בפסיקה של בית משפט. אבל אולי דווקא בגלל זה הוא עובד. הוא מחזיר אותנו למקום מוכר: לכיתה, ללוח, למורה שאמרה “קודם סוגריים”, לתחושה שאנחנו אמורים לדעת.
כאשר מבוגר טועה בשאלה שנראית פשוטה, זה מרגיש מביך יותר מאשר לטעות בשאלה מורכבת. לכן אנשים מגיבים בעוצמה. הם רוצים להוכיח לעצמם שהם עדיין זוכרים. שהם עדיין טובים בזה. שהם לא מאלה ש”שכחו מתמטיקה”.
אבל אולי החידה האמיתית אינה מי יודע מתמטיקה, אלא מי מסוגל להודות שהניסוח לא מספיק ברור.
אז מה כדאי לענות אם מישהו שולח לכם את התרגיל?
אם מישהו שולח לכם את התרגיל ושואל מה התשובה, אפשר לענות כך:
לפי סדר פעולות רגיל, התשובה היא 16. אבל הדרך שבה התרגיל כתוב עמומה, ולכן אנשים מסוימים מפרשים אותו כ־1. אם רוצים למנוע ויכוח, צריך לכתוב אותו עם סוגריים ברורים יותר.
זו כנראה התשובה הכי הוגנת. היא לא מזלזלת במי שענה 1, אבל גם לא מתעלמת מהכללים המקובלים שמובילים ל־16.
במקום להפוך את זה למלחמת עולם, אפשר פשוט להשתמש בתרגיל כדרך מצוינת לעצבן חברים בקבוצת וואטסאפ.
נסו את זה על חברים
היופי בתרגיל הזה הוא שהוא קצר כל כך שאפשר לשלוח אותו לכל אחד. אין צורך בהסבר. פשוט כותבים:
8 ÷ 2(2 + 2) = ?
ואז מחכים.
חלק יענו מיד 16. אחרים יענו 1. חלק יפתחו מחשבון. חלק יכתבו הסבר ארוך. חלק יתווכחו עם עצמם. וכמעט תמיד יהיה מישהו שיגיד: “רגע, למה אני מסתבך עם זה?”
זו בדיוק הסיבה שהתרגיל הזה שרד כל כך הרבה זמן ברשת. הוא לא דורש ידע מיוחד, אבל הוא מספיק מבלבל כדי לגרום כמעט לכל אחד לעצור.
השורה התחתונה
התרגיל 8 ÷ 2(2 + 2) נראה פשוט, אבל הוא הצליח לחלק את האינטרנט לשני מחנות. מחנה אחד פותר לפי סדר פעולות רגיל משמאל לימין אחרי הסוגריים ומקבל 16. המחנה השני מתייחס ל־2(4) כקבוצה אחת ומקבל 1.
לפי הכללים המקובלים של סדר פעולות חשבון, התשובה היא 16. אבל בגלל שהתרגיל כתוב בצורה עמומה, אפשר להבין למה אנשים רבים נופלים על הקריאה השנייה. הבעיה האמיתית אינה המתמטיקה, אלא הכתיבה הלא מספיק ברורה.
אם רוצים למנוע ויכוח, פשוט מוסיפים סוגריים. אם רוצים לפתוח ויכוח משפחתי, שולחים את התרגיל בלי הסברים.
אז עכשיו תורכם: מה התשובה שלכם – 16 או 1? שתפו את התרגיל עם חברים ובני משפחה ובדקו כמה זמן ייקח עד שמישהו יכתוב בביטחון מוחלט תשובה אחרת משלכם.